Question

【題目】已知當x∈[0，1]時，函數y=（mx﹣1）2 的圖象與y= +m的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是（　　）
A.（0，1]∪[2 ，+∞）
B.（0，1]∪[3，+∞）
C.（0， ）∪[2 ，+∞）
D.（0， ]∪[3，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根據題意，由于m為正數，y=（mx﹣1）2 為二次函數，在區間（0， ）為減函數，（ ，+∞）為增函數，
函數y= +m為增函數，
分2種情況討論：
①、當0＜m≤1時，有 ≥1，
在區間[0，1]上，y=（mx﹣1）2 為減函數，且其值域為[（m﹣1）2 ， 1]，
函數y= +m為增函數，其值域為[m，1+m]，
此時兩個函數的圖象有1個交點，符合題意；
②、當m＞1時，有 ＜1，
y=（mx﹣1）2 在區間（0， ）為減函數，（ ，1）為增函數，
函數y= +m為增函數，其值域為[m，1+m]，
若兩個函數的圖象有1個交點，則有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m為正數，則m≥3；
綜合可得：m的取值范圍是（0，1]∪[3，+∞）；
故選：B．
【考點精析】關于本題考查的函數的值域和函數單調性的性質，需要了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．