Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
（Ⅰ）求f（x）的導函數；
（Ⅱ）求f（x）在區間[ ，+∞）上的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ），
導數f′（x）=（1﹣ 2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x
=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x；
（Ⅱ）由f（x）的導數f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x ，
可得f′（x）=0時，x=1或 ，
當 ＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當1＜x＜ 時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞ 時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
且x≥ x2≥2x﹣1（x﹣1）2≥0，
則f（x）≥0．
由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，
即有f（x）的最大值為 e ，最小值為f（1）=0．
則f（x）在區間[ ，+∞）上的取值范圍是[0， e ]．
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，注意運用復合函數的求導法則，即可得到所求；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，求得極值點，討論當 ＜x＜1時，當1＜x＜ 時，當x＞ 時，f（x）的單調性，判斷f（x）≥0，計算f（ ），f（1），f（ ），即可得到所求取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了簡單復合函數的導數和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握復合函數求導：和,稱則可以表示成為的函數,即為一個復合函數；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．