Question

【題目】一種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，設棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第1站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（失敗）或者第100站（獲勝）時，游戲結束.

（1）求；

（2）求證：數列為等比數列；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

Answer 1

【答案】（1），， （2）證明見解析 （3）

【解析】

（1）根據題意，分析可得棋子在1站是一個必然事件，即可得P1的值，進而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情況，據此求出P2、P3的值（2）根據題意，分析可得，變形可得，即可得結論（3）由（2）知，利用累加法求出，由對立事件的概率性質求出.

（1）棋子開始在第1站是必然事件，；

棋子跳到第2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，

其概率為；

棋子跳到第3站，有兩種情況，①第一次擲硬幣反面向上，其概率為；②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為；

（2）棋子棋子跳到第站，有兩種情況：①棋子先跳到第n站，又擲硬幣反面向上，其概率為；②棋子先跳到第站，又擲硬幣正面向上，其概率為.故.

又，

數列…是以為首項，為公比的等比數列.

（3）由（2）得.

…

…

所以獲勝的概率為