Question

【題目】已知函數，無窮數列的首項．

（1）如果，寫出數列的通項公式；

（2）如果（且），要使得數列是等差數列，求首項的取值范圍；

（3）如果（且），求出數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）化簡函數為分段函數，然后求出．

（2）由是等差數列，求出公差，首項，然后求解的范圍．

（3）當時，求出前項和，當時，當時，分別求出項和即可．

解：（1）函數

又且，．

（2）因為是等差數列，則，，

由分段函數的解析式及等差數列的性質有，公差．

當時，有,符合題意．

當時，，

由得，得，,

又,則無解．

當時，，

由得，得，此時,滿足．

綜上所述，可得的取值范圍是或．

（3）當時，，

數列是以為首項，公差為的等差數列，

．

當時，，

時，．

時，.

時，

又也滿足上式，

當時，，

時，．

時，.

時，

又也滿足上式，．

綜上所述：．