Question

已知集合A={（x，y）|x²+y²-2xcosα+2（1+sinα）（1-y）=0，α∈R}，B={（x，y）|y=kx+3，k∈R}．若A∩B為單元素集，則k=

 

．

Answer 1

分析：把集合A化簡，消掉參數α得到點集A為圓上的點，由A∩B為單元素集可知直線與圓相切，由圓心到直線的距離列式求得k的值．

解答：解：x²+y²-2xcosα+2（1+sinα）（1-y）=0，
配方得，（x-cosα）²+（y-1-sinα）²=0，
則x=cosα，y=1+sinα，消去參數α，得x²+（y-1）²=1．
即集合A表示圓上的點．
由A∩B為單元素集，
即直線y=kx+3與圓x²+（y-1）²=1相切，
也就是圓心（0，1）到直線kx-y+3=0的距離為1．
則有

|k×0-1+3|

k2+1

=1，解得k=±3．
故答案為：±3．

點評：本題考查了交集及其運算，考查了數學轉化思想方法，訓練了由圓心到直線的距離等于圓的半徑判斷直線與圓相切，是中檔題．