Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點在直線l：x=1上，離心率e=

1

2

．設P，Q為橢圓上不同的兩點，且弦PQ的中點T在直線l上，點R（

1

4

，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試證：對于所有滿足條件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）試判斷△PQR能否為等邊三角形？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的性質、離心率計算公式e=

c

a

及a²=b²+c²即可得出；
（2）證明：設T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則

RT

=(

3

4

，y0)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，只要證明

RT

•

PQ

=

3

4

(x2-x1)+y0(y2-y1)=0即可，利用“點差法”中點坐標公式即可證明；
（3）分類討論，利用等邊三角形的性質和兩點間的距離關系及其根與系數的關系即可得到滿足條件的直線斜率k存在即可．

解答：（1）解：由題意可得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a=2 b2=3

，∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則

RT

=(

3

4

，y0)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，
∴

RT

•

PQ

=

3

4

(x2-x1)+y0(y2-y1)，
由點P，Q在橢圓上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
∴

3

4

(x1-x2)+y0(y1-y2)=0．
∴

RT

•

PQ

=0．
∴PQ⊥RT．
即RT是線段PQ的垂直平分線，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①當PQ的斜率不存在時，△PQR不是等邊三角形；
②當PQ的斜率存在時，由（2）可知：k=0時不符合題意．
假設k≠0，△PQR為等邊三角形，則|RT|=

3

2

|PQ|，
設PQ的中點T（1，y₀），此時，|RT|2=

3

4

|PQ|2．
∴(1-

1

4

)2+(y0-0)2=

3

4

[

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

]2，
∴

9

16

+(

y1+y2

2

)2=

3

4

(

1+k2

•

4-4• 4m2-12 4k2+3

)2，
代入化為

9

16

+

9

16k2

=3(1+k2)(1-

4k2+ 9 4k2 -6

4k2+3

)=3（1+k²）

9- 9 4k2

4k2+3

，
解得k2=

15

44

．
由△＞0，得64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
把m=-k-

3

4k

代入上式得k2＞

1

4

，∴k2=

15

44

符合題意．
∴△PQR能為等邊三角形．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為直線l的方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系、垂直與數量積的關系、兩點間的距離公式、斜率計算公式等基礎知識與基本能力，考查了推理能力和計算能力．