Question

【題目】(導學號：05856301)已知函數f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)，其導函數為f′(x)，若對任意的x<0，不等式x2＋(m＋1)x>f′(x)恒成立，則實數m的取值范圍為(　　)

A. (0,1) B. (－∞，1) C. (－∞，1] D. (1，＋∞)

Answer 1

【答案】C

【解析】由題意得f′(x)＝mex＋m(x－1)ex＋x＝mxex＋x，

所以x2＋(m＋1)x>f′(x)對任意的x<0恒成立等價于mxex＋x<x2＋(m＋1)x對任意的x<0恒成立，

即mex－x－m>0對任意的x<0恒成立．

令g(x)＝mex－x－m(x<0)，則g′(x)＝mex－1，

當m≤1時，g′(x)＝mex－1≤ex－1<0，則g(x)在(－∞，0)上單調遞減，所以g(x)>g(0)＝0，符合題意；

當m>1時，g(x)在(－∞，－ln m)上單調遞減，在(－ln m,0)上單調遞增，所以g(x)min＝g(－ln m)<g(0)＝0，不合題意．

所以實數m的取值范圍為(－∞，1]．

故選：C