Question

A，B，C是表面積為48π的球面O（O為球心）上的三點，若AB=2，BC=4，∠ABC=60°，則三棱錐O-ABC的體積為

4 6

3

．

Answer 1

分析：先求球的半徑，確定小圓中三角形ABC的特征，作出三棱錐O-ABC的高，然后解三角形求出三棱錐O-ABC的底面面積及三棱錐O-ABC的高，即可得到三棱錐O-ABC的體積．

解答：解：表面積為48π的球面，它的半徑是R，則48π=4πR²，R=2

3

，
因為 AB=2，BC=4，∠ABC=60°，所以∠BAC=90°，BC為小圓的直徑，
則平面OBC⊥平面ABC，D為小圓的圓心，
所以OD⊥平面ABC，OD就是三棱錐O-ABC的高，
OD=

(2 3 )2-22

=2

2

，
則三棱錐O-ABC的體積為V=

1

3

×

1

2

×AB×AC×OD=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×2

2

=

4 6

3

故答案為：

4 6

3

．

點評：本題考查球的有關計算問題，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．