Question

已知a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數列{a_n}是遞增的等差數列，數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數列{a_n}是遞增的等差數列，可得a₂=3，a₅=9，利用等差數列的通項公式即可得出a_n．
對于數列{b_n}，S_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）．當n=1時，b1=1-

1

2

b1，解得b₁．當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，利用等比數列的通項公式可得b_n．
（2）c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）解方程x²-12x+27=0，可得x=3或9，∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數列{a_n}是遞增的等差數列，∴a₂=3，a₅=9，
設公差為d，則

a1+d=3 a1+4d=9

，解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
對于數列{b_n}，S_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）．當n=1時，b1=1-

1

2

b1，解得b₁=

2

3

．當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=(1-

1

2

bn)-(1-

1

2

bn-1)，化為bn=

1

3

bn-1，因此數列{b_n}是等比數列，∴b_n=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

．（2）c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，
∴數列{c_n}的前n項和T_n=

2

3

+

6

32

+

10

33

+…+

4(n-1)-2

3n-1

+

4n-2

3n

，∴3T_n=2+

6

3

+

10

32

+…+

4n-2

3n-1

，兩式相減可得：2T_n=2+

4

3

+

4

32

+

4

3n-1

-

4n-2

3n

=

4(1- 1 3n )

1- 1 3

-2-

4n-2

3n

=4-

4n+4

3n

，∴T_n=2-

2n+2

3n

．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．