Question

若函數f（x）=4x-

1

2

-a•2x+

27

2

在區間[0，2]上的最大值為9，求實數a的值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：利用換元法，將函數轉化為一元二次函數，即可得到結論．

解答： 解：∵f(x)=

1

2

•22x-a•2x+

27

2

，
令2^x=t，∵0≤x≤2，
∴1≤t≤4，
∴f(x)=g(t)=

1

2

t2-at+

27

2

=

1

2

(t-a)2+

27

2

-

a2

2

(1≤t≤4)，
∴拋物線g（t）的對稱軸為t=a，
①當a＜

5

2

時，[f(x)]max=g(4)=

43

2

-4a=9⇒a=

43

8

＞

5

2

，不合；
②當a≥

5

2

時，[f（x）]_max=g（1）=14-a=9⇒a=5，適合；
綜上，a=5

點評：本題主要考查指數函數的性質以及一元二次函數的應用，利用換元法是解決本題的關鍵．