Question

由下面四個圖形中的點數分別給出了四個數列的前四項，將每個圖形的層數增加可得到這四個數列的后繼項．按圖中多邊形的邊數依次稱這些數列為“三角形數列”、“四邊形數列”…，將構圖邊數增加到n可得到“n邊形數列”，記它的第r項為P（n，r），

（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；
（2）問3725是否為“五邊形數列”中的項，若是，為第幾項；若不是，說明理由；
（3）試推導P（n，r）關于n、r的解析式．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）由已知可得P（3，r）=

r(r+1)

2

，解不等式可得最小r的取值；
（2）“五邊形數列”中的項，P（5，r）=r+

3r(r-1)

2

，令r+

3r(r+1)

2

=3725，判斷方程是否有正整數解，可得答案．
（3）設n邊形數列所對應的圖形中第r層的點數為a₁，則P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，進而由等差數列的前n項和公式，可得答案．

解答： 解：（1）由題意得：P（3，r）=

r(r+1)

2

，
令

r(r+1)

2

＞36，
即r²+r-72＞0，
解得r＞8，
∴最小的r=9．
（2）“五邊形數列”中的項，P（5，r）=r+

3r(r-1)

2

，
令r+

3r(r+1)

2

=3725，此方程無正整數解，
故3725不是“五邊形數列”中的項，
（3）設n邊形數列所對應的圖形中第r層的點數為a₁，
則P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，
從圖中可以得出：后一層的點在n-2條邊上增加了一點，兩條邊上的點數不變，
所以a_r+1-a_r=n-2，a₁=1
所以{a_r}是首項為1公差為n-2的等差數列，
所以P（n，r）=r+

(n-2)•r•(r-1)

2

．

點評：本題考查等差數列的基本知識，遞推數列的通項公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力．