Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,為的中點(diǎn).

（1）若，求證：；

（2）若，且，點(diǎn)在線段上，試確定點(diǎn)的位置，使二面角大小為，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，為的中點(diǎn)，得，又由底面為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證得，進(jìn)而證得，即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，得平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角大小為，利用向量的運(yùn)算，即可求解求出的值.

試題解析：⑴∵，為的中點(diǎn)，∴，又∵底面為菱形，，∴，又，∴，又∵，∴；

⑵∵，，，

∴，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則，，，，設(shè)，

所以，平面的一個(gè)法向量是，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

所以，∴∴.

取，

由二面角大小為，可得：，解得，此時(shí).