Question

【題目】已知函數，且曲線在點處的切線與直線垂直.

（1）求函數的單調區間；

（2）求證：時，.

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，無減區間（2）詳見解析.

【解析】

（1）求出原函數的導函數，得到函數在x＝1時的導數，再求得f（1），然后利用直線方程的點斜式得答案；（2）構造新函數h（x）＝ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1，證明ex﹣（e﹣2）x﹣1≥x2；令新函數φ（x）＝lnx﹣x，證明x（lnx+1）≤x2，從而證明結論成立．

（1）由，得.

因為曲線在點處的切線與直線垂直，

所以，所以，即，.

令，則.所以時，，單調遞減；

時，，單調遞增.所以，所以，單調遞增.

即的單調增區間為，無減區間

（2）由（1）知，，所以在處的切線為，

即.

令，則，

且，，

時，，單調遞減；

時，，單調遞增.

因為，所以，因為，所以存在，使時，，單調遞增；

時，，單調遞減；時，，單調遞增.

又，所以時，，即，

所以.

令，則.所以時，，單調遞增；

時，，單調遞減，所以，即，

因為，所以，所以時，，

即時，.