【題目】如圖，已知拋物線
的焦點為
，準線為
，過點的直線交拋物線于
，
兩點，點在準線上的投影為
，點
是拋物線上一點，且滿足
.
（1）若點坐標是
，求線段
中點
的坐標；
（2）求
面積的最小值及此時直線的方程.
【答案】（1）
；（2）最小值是16，此時直線
的方程是
或
.
【解析】
（1）設
，
，
,則
，由題意得
，直線
：
，與拋物線方程
聯立，則可得
的值，再根據
，
均在拋物線上，代入并作差，可得的中點坐標與斜率的關系，再利用
，求得線段中點
的坐標.
（2）將直線的方程用
表示出來，并與拋物線方程聯立，再根據弦長公式求出
，利用點到直線的距離公式，求出點
到直線的距離為
，運用
，結合均值不等式可求得
面積的最小值及此時直線的方程.
解：（1）設，，,則，由題意得，
直線：，又，得
，則
，
又
，得
，
得
，又得
，即
解得
，即
，
由
，得
，
，
故
，
，線段中點的坐標為.
（2）由（1）可知，，
設直線方程為
，即
由
得
，所以
點到直線的距離是
所以
而
等號成立當且
，解得
.
此時
，
或
，
.
因此面積的最小值是16，
此時直線的方程是或.
核心素養學練評系列答案
單元期中期末卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系
中，直線
（
為參數），以原點為極點，
軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線
的普通方程及曲線的直角坐標方程；
（2）設點
直角坐標為
，直線與曲線交于
，
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，點
在橢圓
上，點
滿足以
為直徑的圓過橢圓的上頂點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
過右焦點
與橢圓交于
兩點，在
軸上是否存在點
使得
為定值？如果存在，求出點
的坐標；如果不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為確定下一年投入某種產品的研發費用，需了解年研發費用
（單位：千萬元）對年銷售量
（單位：千萬件）的影響，統計了近10年投入的年研發費用
與年銷售量
的數據，得到散點圖如圖所示：
（1）利用散點圖判斷，
和
（其中
為大于0的常數）哪一個更適合作為年研發費用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）.
（2）對數據作出如下處理：令
，
，得到相關統計量的值如下表：
根據（1）的判斷結果及表中數據，求關于的回歸方程；
（3）已知企業年利潤
（單位：千萬元）與
的關系為
（其中
），根據（2）的結果，要使得該企業下一年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發費用？
附：對于一組數據
，
，
，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】雙曲線
的左焦點為
，點A的坐標為（0，1），點P為雙曲線右支上的動點，且△APF1周長的最小值為6，則雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.2D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線
與拋物線
（常數
）相交于不同的兩點
、
，且
（
為定值），線段
的中點為
，與直線
平行的切線的切點為
（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點為切點）．
（1）用
、
表示出點、點的坐標，并證明
垂直于
軸；
（2）求
的面積，證明的面積與、無關，只與有關；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后，小張連
、
，再作與、平行的切線，切點分別為
、
，小張馬上寫出了
、
的面積，由此小張求出了直線
與拋物線圍成的面積，你認為小張能做到嗎？請你說出理由．
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