Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個頂點到一個焦點的距離等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）設經過點的直線交橢圓于，兩點，點.

①若對任意直線總存在點，使得，求實數的取值范圍；

②設點為橢圓的左焦點，若點為的外心，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）依題意解之即得橢圓的方程.(2) ①設直線的方程為，代入橢圓的方程，根據，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范圍 ②

由，.所以，解得,即可求出m值.

解：（1）依題意解得所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，

代入橢圓的方程，消去，得.

因為直線交橢圓于兩點，所以，

解得.

設，，則有，.

①設中點為，

則有，.

當時，因為，所以，即.

解得.

當時，可得，符合.

因此.

由，解得.

②因為點為的外心，且，所以.

由

消去，得，所以 ，也是此方程的兩個根.

所以，.

又因為，，所以，解得.

所以.