Question

偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，問它在（0，+∞）是增函數(shù)還是減函數(shù)？能否用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論？

Answer 1

因?yàn)榕己瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
故f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
證明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)