Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓： （）的離心率為，連接橢圓的四個頂點所形成的四邊形面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上點到定點（）的距離的最小值為1，求的值及點的坐標；

（3）如圖，過橢圓的下頂點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點， ，設直線的斜率為，直線： 分別與直線， 交于點， ．記， 的面積分別為， ，是否存在直線，使得？若存在，求出所有直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）的值為2，點的坐標為（3），

【解析】試題分析：（1）根據題意列出式子解得從而得到橢圓方程；（2）根據點點距公式得到，研究這個函數的最值即可；（3）聯立直線和橢圓得到二次方程， ，將面積比轉化為坐標之比代入即可。

解析：

（1）由題意得： 解得

所以橢圓的標準方程為．

（2）設，由定點，考慮距離的平方：

則，

二次函數的圖象對稱軸為，

由橢圓方程知，

由題設知，

①當，即時，在時有，

解得，不符合題意，舍去；

②當，即時，由單調性知：在時有，

解得或（舍）．

綜上可得： 的值為2，點的坐標為．

（3）由（1）知， ，則直線的方程為，

聯立消去并整理得，解得；

直線的方程為，同理可得．

聯立解得，同理可得，

所以，

即，解得或，

所以或，

故存在直線： ， 滿足題意．