Question

如圖，以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．
（1）求證c²=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證

OP

•

OQ

=

1

2

b²．

Answer 1

分析：（1）直接利用Rt△OFA∽Rt△OBF，找到對應邊的比值相等即可證明c²=ab，再求出直線OA的斜率，利用OA與直線BF垂直可得直線BF的斜率，進而求出直線BF的方程以及BF與y軸的交點M的坐標；
（2）先把直線BF的方程與橢圓方程聯立，求出關于P、Q兩點的坐標以及直線BF的斜率之間的等量關系，代入

OP

•

OQ

整理可得結論．（注意整理過程中要細心）

解答：解：（1）由題設條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，
故

OF

OA

=

OB

OF

，即

c

a

=

b

c

，因此c²=ab．①（2分）
在Rt△OFA中，FA=

OA2-OF2

=

a2-c2

=b
于是，直線OA的斜K_OA=

b

c

．設直線BF的斜率為k，k=-

1

kOA

=-

c

b

．
所以直線BF的方程為：y=-

c

b

(x-c)（5分）
直線BF與y軸的交點為M(0，

c2

b

)即(0，a)．（6分）
（2）由（1），得直線BF得方程為y=kx+a，k2=

c2

a2

=

ab

a2

=

a

b

②
由已知，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則它們的坐標滿足方程

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+a

③
由方程組③消y，并整理得（b²+a²k²）x²+2a³x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，④
由式①、②和④，x1x2=

a4-a2b2

b2+a2k2

+

a2(a2-b2)

b2+a2 a b

=

a2c2

b2+ a3 b

=

a3b2

b3+a3

.x1+x2=

-2a3k

b2+a2k2

y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ka(x1+x2)+a2  =k2 a3b2 b3+a3 +ka -2a3k b2+a2k2 +a2  = a4b a3+b3 - 2a5 a3+b3 +a2  = a4b-a5+a2b3 a3+b3  = a3(ab-a2)+a2b3 a3+b3  = -b2a3+a2b3 a3+b3

綜上，得到

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

a2b3

a3+b3

，（12分）
又因a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²，得

OP • OQ = a2b3 a3+b3 = a2b3 (a+b)•2b2 = ab2 2(a+b)  = ac2 2(a+b) = a(a2-b2) 2(a+b) = 1 2 (a2-ab)  = 1 2 (a2-c2)= 1 2 b2

（15分）

點評：本題是對橢圓與圓以及直線與橢圓位置關系的綜合考查．這一類型題目，思路比較清晰，就是整理過程要求比較高，所以在做題時，一定要認真，細致．