Question

【題目】已知函數 （a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）當x∈（n，a﹣2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），

又

所以f（x）為奇函數

（2）解：由（1）及題設知： ，設 ，

∴當x1＞x2＞1時， ∴t1＜t2．

當a＞1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數．

同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數

（3）解：①當n＜a﹣2≤﹣1時，有0＜a＜1．

由（2）可知：f（x）在（n，a﹣2）為增函數，

由其值域為（1，+∞）知 ，無解

②當1≤n＜a﹣2時，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數，

由其值域為（1，+∞）知

得 ，n=1

【解析】（1）先求函數的定義域看是否關于原點對稱，然后在用奇偶函數的定義判斷，要注意到代入﹣x時，真數是原來的倒數，這樣就不難并判斷奇偶性．（2）用單調性的定義進行證明，首先在所給的區間上任取兩個自變量看真數的大小關系，然后在根據底的不同判斷函數單調性．（3）要根據第二問的結論，進行分類討論，解出兩種情況下的實數a與n的值．