Question

【題目】已知橢圓 （a＞0，b＞0）上的點P到左、右兩焦點F1 ， F2的距離之和為2 ，離心率為 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在同時滿足①②兩個條件的直線l？
①過點M（0， ）；
②存在橢圓上與右焦點F2共線的兩點A、B，且A、B關于直線l對稱．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 （a＞0，b＞0）上的點P到左、右兩焦點F1，F2的距離之和為2 ，離心率為 ，

∴ ，∴a= ，c=1，b= =1，

∴橢圓的標準方程為 =1．

（2）解：①假設存在符合條件的直線l，

當直線l與y軸重合時，兩點A、B可位于長軸兩個端點，符合條件．

此時l的方程為x=0；

②當直線l與x軸平行時，不符合條件；

③當直線l既不與x軸平行，又不與y軸重合時，

由F2（1，0），可設直線AB的方程為y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

則直線l的方程為y=﹣ ，

聯立直線AB與橢圓方程 ，

化簡得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴ ， ，

y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，

∴AB的中點坐標為G（ ， ）．

結合題意知點G在直線l上，∴ =﹣ + ，

整理得：2k2﹣3k+1=0，解得k=1或k= ，

此時直線l的方程為y=﹣x+ 或y=﹣2x+ ．

綜上所述，存在符合條件的直線l，方程分別為x=0，y=﹣x+ 或y=﹣2x+

【解析】（1）由橢圓定義和離心率，列出方程組，由此能求出橢圓的標準方程．（2）當直線l與y軸重合時，l的方程為x=0；當直線l與x軸行時，不符合條件； 當直線l既不與x軸平行，又不與y軸重合時，設直線AB的方程為y=k（x﹣1），直線l的方程為y=﹣ ，聯立直線AB與橢圓方程，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韋達定理、根的判別式能求出結果．