Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點為F1（﹣2，0），F2（2，0），點M（﹣2， ） 在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知斜率為k的直線l過橢圓C的右焦點F2 ， 與橢圓C相交于A，B兩點．
①若|AB|= ，求直線l的方程；
②設點P（ ，0），證明： 為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得c=2，即a2﹣b2=4，

代入M的坐標，可得 + =1，

解得a= ，b= ，

即有橢圓方程為 =1；

（2）解：①設直線l的方程為y=k（x﹣2），

代入橢圓方程，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，

判別式△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）=24（1+k2）＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2= ，x1x2= ，

|AB|=

= = ，

解方程可得k=±1，

即有直線l的方程為y=±（x﹣2）；

② =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+y1y2

=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）

=（1+k2）x1x2﹣（2k2+ ）（x1+x2）+（4k2+ ）

=（1+k2） ﹣（2k2+ ） +（4k2+ ）= +

=﹣6+ =﹣ ．

故 為定值﹣ ．

【解析】（1）由題意可得c=2，再將M的坐標代入橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）①設直線l的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，解方程可得k，進而得到所求直線的方程；②運用向量的數量積的坐標表示和點滿足直線的方程，化簡整理，代入韋達定理，計算即可得到所求定值．