Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形DCFE為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC= ，AB=2BC=2，且AC⊥FB．
（1）求證：平面EAC⊥平面FCB；
（2）若線段AC上存在點(diǎn)M，使AE∥平面FDM，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，

∵AC= ，AB=2BC=2，

∴AC2+BC2=AB2．

∴AC⊥BC．

又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，

∴AC⊥平面FBC．

∵AC平面平面EAC，

∴平面EAC⊥平面FCB．

（2）解：線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM，

證明如下：

連接CE與DF交于點(diǎn)N，連接MN．

由 CDEF為正方形，得N為CE中點(diǎn)．

∴EA∥MN．

∵M(jìn)N平面FDM，EA平面FDM，

∴EA∥平面FDM．

所以線段AC上存在點(diǎn)M，且 =1，使得EA∥平面FDM成立．

【解析】（1）推導(dǎo)出AC⊥BC，AC⊥FB，從而AC⊥平面FBC，由上能證明平面EAC⊥平面FCB．（2）線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，連接CE與DF交于點(diǎn)N，連接MN．則EA∥MN．由此推導(dǎo)出線段AC上存在點(diǎn)M，且 =1，使得EA∥平面FDM成立．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題．