Question

已知函數f（x）=kx+m，數列{a_n}，{b_n}滿足：當x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域是[a₂，b₂]；當x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域是[a₃，b₃]，…，當x∈[a_n-1，b_n-1]（n∈N^*，且n≥2）時，f（x）的值域是[a_n，b_n]，其中k，m為常數，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）若k=2，且數列{b_n}是等比數列，求m的值；
（Ⅱ）若k＞0，設{a_n}與{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由k=2，得f（x）=2x+m在R上是增函數，從而b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，根據{b_n}是等比數列，得b_n≠0，于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常數），從而m=0或{b_n}是常數列，故可求m的值；
（Ⅱ）由k＞0，得f（x）=kx+m在R上是增函數，可得{b_n-a_n}是以b₁-a₁為首項，k為公比的等比數列，從而bn-an=kn-1(b1-a1)=k^n-1，故T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

，從而可求（T₁+T₂+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

解答：解：（I）∵k=2，∴f（x）=2x+m在R上是增函數，
∴b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，
又∵{b_n}是等比數列，∴b_n≠0，
于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常數）
∴m=0或{b_n}是常數列，
又b₁=1，
∴若{b_n}是常數列，則必有b₂=2b₁+m=2+m=1，即m=-1，
綜上，m=0或m=-1．
（II）∵k＞0，∴f（x）=kx+m在R上是增函數，
∴a_n=ka_n-1+m，b_n=kb_n-1+m（n∈N₊，且n≥2），
兩式相減得b_n-a_n=k（b_n-1-a_n-1），即{b_n-a_n}是以b₁-a₁為首項，k為公比的等比數列，
∴bn-an=kn-1(b1-a1)=k^n-1，
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

，
∴（T₁+T₂+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）
=

n(n+1) 2 ，k=1 kn+1-(n+1)k+n (1-k)2 ，k＞0，k≠1

．

點評：本題以函數為載體，考查等差數列與等比數列的通項，考查數列的求和，將數列轉化為等差數列與等比數列是解題的關鍵．