Question

已知函數f（x）=ax+

b

x

（其中a、b為常數）的圖象經過（1，2）、(2，

5

2

)兩點．
（1）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義證明即可．

解答： 解：由已知有

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得

a=1 b=1

，
∴f(x)=x+

1

x

．  …（3分）
（1）f（x）是奇函數．…（4分）
證明：由題意f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，…（5分）
又f(-x)=-x-

1

x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，…（6分）
∴f（x）是奇函數．           …（7分）
（2）證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，…（8分），
f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-1

x1x2

)，…（10分）
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），…（11分）
故函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．…（12分）

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用定義法是解決本題的關鍵．