Question

【題目】如圖，在棱長均為的三棱柱中，點在平面內的射影為與的交點，、分別為，的中點.

（1）求證：四邊形為正方形；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面沒有公共點？若存在求出的值.（該問寫出結論即可）

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2) (3)

【解析】

（1）先連結，由題意先證明平面，進而證明為菱形，再證明，即可得出結論成立；

(2)根據題意建立如圖所示坐標系，求出直線的方向向量以及平面的一個法向量，根據向量夾角的余弦值，即可得出結果；

(3)因為直線與平面沒有公共點，即是，設點坐標為，求出平面的一個法向量，根據線面平行，得到直線的方向向量與平面法向量數量積為0，進而可求出，即可得出結果.

解：（1）連結.

因為在平面內的射影為與的交點，所以.

由已知三棱柱各棱長均相等，所以，且為菱形.

由勾股定理得，即，所以四邊形為正方形.

（2）由（1）知平面，.

在正方形中，.

如圖建立空間直角坐標系.由題意得

，

.

所以.

設平面的法向量為，

則，即.

令，則.

于是.

又因為，

設直線與平面所成角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為

（3）直線與平面沒有公共點，即.

設點坐標為，與重合時不合題意，所以.

因為.

設為平面的法向量，

則即

令,則.

于是.

若，.

又，

所以解得.

此時，

所以.所以.