Question

【題目】兩圓(圓心,半徑),與(圓心,半徑)不是同心圓,方程相減(消去二次項)得到的直線叫做圓 與圓的根軸;

(1)求證:當與相交于A,B兩點時,所在直線為根軸;

(2)對根軸上任意點P,求證:;

(3)設根軸與交于點H,,求證:H分的比;

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【解析】

（1）當與相交于兩點時，兩圓的方程作差可得公共弦所在的直線方程，即可證明結論；
（2）先確定根軸上的點的軌跡，再根據點位置分類討論，即可證明結論；
（3）設到根軸的距離為，到根軸的距離為，則，即可證明結論.

證明：（1）當與相交于兩點時，兩圓的方程作差可得，
∴公共弦所在的直線方程為：，

即當與相交于兩點時，所在的直線為根軸；
（2）由（1）得，當兩圓相交時，根軸為兩圓的公共弦所在的直線；

當兩圓相切時，

相當于把兩相交的圓逐漸往兩側移動時，兩交點逐漸靠近，最終重合為一點，此時兩圓外切，同時與兩圓相交的公共弦所在直線也就與兩圓只有一個公共點，該直線成為兩外切圓的過同一切點的公切線，即根軸為與兩圓有相同切點的公切線；

當兩圓相離或內含時，

直線方程可以變形為：，即根軸上的點到兩圓的切線長相等．

當點是兩圓交點時，此時兩圓相交或相切，有

當點是兩圓內部時，此時兩圓相交，如圖：

，

，

；

當點是兩圓外部時，此時兩圓相交，相切，相離，內含均可能，如圖：

根據勾股定理可得：，

因為根軸上的點到兩圓的切線長相等，所以，
，

綜上所述：；
（3）設到根軸的距離為，到根軸的距離為，

則，
.
分的比.