Question

【題目】已知一個分段函數可利用函數 來表示，例如要表示一個分段函數 ，可將函數g（x）表示為g（x）=xS（x﹣2）+（﹣x）S（2﹣x）．現有一個函數f（x）=（﹣x2+4x﹣3）S（x﹣1）+（x2﹣1）S（1﹣x）．
（1）求函數f（x）在區間[0，4]上的最大值與最小值；
（2）若關于x的不等式f（x）≤kx對任意x∈[0，+∞）都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知 ，

當1≤x≤4時，f（x）=﹣（x﹣2）2+1，則f（x）在[1，2]上遞增，在[2，4]上遞減；

當0≤x＜1時，f（x）=x2﹣1，則f（x）在[0，1）上遞增，

而f（0）=﹣1，f（2）=1，f（4）=﹣3，所以f（x）max=f（2）=1，f（x）min=f（4）=﹣3

（2）解：由圖可知，

當直線y=kx與拋物線y=﹣x2+4x﹣3只有一個交點時，令kx=﹣x2+4x﹣3，即x2+（k﹣4）x+3=0，由△=0，得（k﹣4）2﹣12=0，得k=4±2 ，

結合圖像，可知當k≥4﹣2 時，關于x的不等式f（x）≤kx對任意x∈[0，+∞）都成立

【解析】（1）由題意可知 ，利用二次函數的單調性可求得函數f（x）在區間[0，4]上的最大值與最小值；（2）在同一坐標系中作出y=f（x）與y=kx的圖像，令kx=﹣x2+4x﹣3，即x2+（k﹣4）x+3=0，由△=0可求得k的值，結合圖像可求得，對任意x∈[0，+∞）都成立時，實數k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．