Question

平行四邊形中，，，且，以BD為折線，把△ABD折起，，連接AC.

（1）求證：；
（2）求二面角B-AC-D的大小.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

解析試題分析：（1）要證線線垂直，一般先其中一條直線與過另一條直線的某個平面垂直，首先我們在圖形中尋找垂直關系，折疊后的圖形中，只有一個面面垂直，沒有線線的關系，回到原平面圖形中，已知條件是，，且，應用余弦定理可求得，因此是等腰直角三角形，，因此，同樣，是垂直的兩平面的交線，由面面垂直的性質可得平面，證線線垂直所需要的線面垂直出來了，結論得證；（2）求二面角，可以根據二面角的定義作二面角的平面角，首先尋找兩個面中其中一個平面的垂線，由題意，取中點，則，從而可證平面，那么只要作，垂足為，則就是所要的平面角，當然本題也可用空間向量法求．
試題解析：（1）在中，,
易得．面面
面
4分

（2）法一：在四面體ABCD中，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系.則D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1）.       6分
設平面ABC的法向量為，而，
由得：，
取                             8分
再設平面DAC的法向量為，而，
由得：，取         10分
所以，所以二面角B-AC-D的大小是60°.    12分
法二：取BC的中點E,連DE,過D作DFAC于F,連EF,則是二面角B-AC-D的平面角      8分
,
∴           12分
法三：補成正方體．
考點：（1）證線線垂直；（2）求二面角．