Question

【題目】如圖所示，海中一小島C周圍nmile內有暗礁，貨輪由西向東航行至A處測得小島C位于北偏東75°方向上，航行8nmile后，于B處測得小島C在北偏東60°方向上.

（1）如果這艘貨輪不改變航向繼續前進，有沒有觸礁的危險？請說明理由.

（2）如果有觸礁的危險，這艘貨輪在B處改變航向為南偏東α°（α>0）方向航行，順利繞過暗礁，求a的最大值.（附：）

Answer 1

【答案】（1）有,詳見解析（2）a的最大值為

【解析】

（1）（方法一）：過點C作AB的垂線，交AB延長線于點D.，在Rt△BCD中，可求出，從而可判斷是否有觸礁的危險；

（方法二）過點C作AB的垂線，交AB延長線于點D，設垂線段CD的長度為xnmile，BD為ynmile，從而可得進而可求出x=4，

（2）延長CD至E，使nmile，并連接BE，結合（1），在中即可求解.

解：（1）（方法一）：有.

理由：如圖，過點C作AB的垂線，交AB延長線于點D.

由已知得∠CAB=15°，∠CBD=30°，所以∠ACB=15°，

所以AB=BC=8nmile，所以在Rt△BCD中，（nmile）.

又，所以貨輪有觸礁的危險.

（方法二）有.

理由：如圖，過點C作AB的垂線，交AB延長線于點D，

設垂線段CD的長度為xnmile，BD為ynmile.

則即

所以，解得x=4.

因為，所以貨輪有觸礁的危險.

（2）如圖，延長CD至E，使nmile，并連接BE，

故nmile，

由（1）得nmile，

所以.

因為，

所以，即.

所以.

所以α的最大值為75.