Question

【題目】已知橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，直線與橢圓交于，兩點，與軸、軸分別相交于點和點，且，點是點關于軸的對稱點，的延長線交橢圓于點，過點、分別做軸的垂線，垂足分別為、.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線，使得點平分線段，？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析: (1)由正三角形的高與邊長的關系可求出,再由點 在橢圓上,可求出 的值,從而求出橢圓方程; (2)假設存在,由直線方程可求出 點的坐標,由已知條件可求出 點的坐標,設聯立直線與橢圓的方程,消去 ,得到關于 的一元二次方程,由韋達定理可求出 的表達式以及直線 的斜率,聯立直線與橢圓方程,可求出的表達式,進而求出的表達式, 由平分線段，求出的值,得出直線方程.

試題解析:（1）由題意知，即，，即,

∵在橢圓上，∴，

所以橢圓方程為.

（2）存在

設，∵

∴,

∴①

∴，

聯立 ∴②

∴

∴

∴

若平分線段，則

即，， ∴

∵ 把①，②代入，得

所以直線的方程為或