Question

設函數f（x）=2ax-bx²+lnx．給出下列條件，條件A：f（x）在x=1 和x=

1

2

處取得極值；條件B：b=a
（Ⅰ）在A條件下，求出實數a，b的值；
（Ⅱ） 在A條件下，對于在[

1

e

，3]上的任意x₀，不等式f（x₀）-c≤0恒成立，求實數c的最小值；
（Ⅲ） 在B條件下，若f（x）在（0，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可得函數的定義域為（0，+∞），然后對函數求導可得f′(x)=2a-2bx+

1

x

，由f（x）在x=1，x=

1

2

處取得極值，可得f′（1）=0，f′(

1

2

)=0，代入可求a，b的值
（Ⅱ） 對于在[

1

e

，3]上的任意x₀，不等式f（x₀）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]_max
由（I）可得f′(x)=-3+2x+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，結合f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函數f（x）的單調性，進而可確定函數的f（x）在[

1

e

，3]上的極大值，然后通過比較極大值與端點值比較求解函數的最大值，從而可求c的取值范圍
（Ⅲ） 當a=b時，可得f′(x)=

-2ax2+2ax+1

x

由f（x）在（0，+∞）上是單調函數，可得
x＞0，-2ax²+2ax+1≥0或-2ax²+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立，結合函數的知識進行求解

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2ax-bx²+lnx，定義域為（0，+∞）
f′(x)=2a-2bx+

1

x

  …（1分）
f（x）在x=1，x=

1

2

處取得極值，
∴f′（1）=0，f′(

1

2

)=0…（2分）
即

2a-2b+1=0 2a-b+2=0

解得

a=- 3 2 b=-1

此時，f′(x)=-3+2x+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

可看出f′（1）=0，f′（2）=0且f′（x）在x=1和x=

1

2

兩側均為異號，符合極值條件
∴所求a，b的值分別為-

3

2

，-1…（4分）
（Ⅱ） 對于在[

1

e

，3]上的任意x₀，不等式f（x₀）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]_max
由f′(x)=-3+2x+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

∴當x∈[

1

e

，

1

2

]時，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

e

，

1

2

]上是單調遞增
當x∈[

1

2

，1]時； f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]上單調遞減
當x∈[1，3]時； f′（x）＞0，故f（x）在[1，3]上單調遞增
∴f(

1

2

)是f（x）在[

1

e

，3]上的極大值…（6分）
而f(

1

2

)=-

3

2

+

1

4

+ln

1

2

=-

5

4

-ln2＜0，f（3）=-3-3+3²+ln3=ln3＞0…（8分）
∴[f（x）]_max=f（3）=ln3
∴c的取值范圍為[ln3，+∞），所以c得最小值為ln3…（9分）
（Ⅲ） 當a=b時，f′(x)=

-2ax2+2ax+1

x

①當a=0時，f(x)=

1

x

，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增…（10分）
②x＞0要使-2ax²+2ax+1≥0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax²+2ax+1，
則

a＜0 g( 1 2 )≥0

，即

a＜0 - 1 2 a+a+1≥0

，解得-2≤a＜0…（12分）
③x＞0要使-2ax²+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax²+2ax+1，

a＞0 g( 1 2 )≤0

，即

a＞0 - 1 2 a+a+1≤0

 無解
綜上可知a的取值范圍為-2≤a≤0…（14分）

點評：（1）若函數在某點取得極值則該店的導數為0是導數最基本的考查
（2）函數的恒成立問題常轉化為求解函數的最值問題，結合導數的知識可求
（3）由函數單調求解參數的問題常結合函數的知識，體現了分類討論與轉化的思想在解題中的應用．