Question

已知三次函數f（x）的導函數f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a、b為實數．
（1）若曲線y=f（x）在點（a+1，f（a+1））處切線的斜率為12，求a的值；
（2）若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，且1＜a＜2，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出x=a+1處的導數值即切線的斜率，令其為12，列出方程，求出a的值．
（2）據導函數的形式設出f（x），求出導函數為0的兩個根，判斷出根與定義域的關系，求出函數的最值，列出方程求出f（x）的解析式．

解答：解：（1）由導數的幾何意義f′（a+1）=12
∴3（a+1）²-3a（a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b
∴f(x)=x3-

3

2

ax2+b
由f′（x）=3x（x-a）=0得x₁=0，x₂=a
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2
∴當x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（0，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值為f（0）
∵f（0）=b，
∴b=1
∵f(1)=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f(-1)=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a
∴f（-1）＜f（1）
∴f（-1）是函數f（x）的最小值，
∴-

3

2

a=-2
∴a=

4

3

∴f（x）=x³-2x²+1

點評：曲線在切點處的導數值為曲線的切線斜率；求函數的最值，一定要注意導數為0的根與定義域的關系．