Question

【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且．

（1）求雙曲線的兩條漸近線的夾角；

（2）過點的直線和雙曲線的右支交于、兩點，求的面積的最小值；

（3）過雙曲線上任意一點分別作該雙曲線兩條漸近線的平行線，它們分別交兩條漸近線于、兩點，求平行四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）首先根據雙曲線的定義，結合題中所給的角的大小，求得，從而求得b的值，進而得到雙曲線的漸近線方程，利用直線的方向向量所成的角，求得兩條漸近線的夾角余弦值，利用反余弦求出結果；

（2）設出直線的方程，與雙曲線的方程聯立，利用三角形的面積公式，結合函數的單調性，求得最值，得到結果；

（3）根據所學的知識將四邊形的面積表示出來，進而求得結果.

（1）由題意，得，

，

∴，∴雙曲線的方程為，

∴，∴；

（2）【注：若設點斜式，需補上斜率不存在的情況】

設，、，

將直線的方程代入雙曲線方程，消去，得，

則，得，

，

令，，則，

其中在上單調遞減，

∴在上單調遞增，

∴當時，取得最小值，此時，的方程為；

（3）設，其中

方法一：設，與聯立，

可求出，

由三階行列式表示的三角形面積公式

可得

．

方法二：如圖，，

設到和的距離為、，

則，，

∴