Question

【題目】已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為，直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為橢圓的左頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0

【解析】

（1）由短軸長(zhǎng)為，離心率為，結(jié)合可求出，從而求出橢圓方程.

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得的值，然后利用弦長(zhǎng)公式得的值，再求出點(diǎn)到直線的距離，利用面積公式建立關(guān)于的方程，即可求出值.

（1）依題意2b=2，，而a2=b2+c2 解之可得a=2，b=，c=1

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

由消去y得消元可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

則，得，

則，x

|MN|=|x1-x2|=

點(diǎn)A（-2，0）到直線y=k（x-1）的距離為d=

∴S=|MN||d==．

∴17k4+k2-18=0，得k=±1

∴直線的方程為x-y-1=0或x+y-1=0