Question

【題目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC⊥CC1 ， AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D．
（1）證明：BC⊥平面ACC1A1
（2）若二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知得，A1D⊥平面ABC，又BC平面ABC，∴A1D⊥BC，

∵BC⊥CC1，CC1∥AA1，∴BC⊥AA1，又A1D∩AA1=A1，

∴BC⊥平面ACC1A1；

（2）解：由（1）及AC平面ACC1A1，得BC⊥AC，

以C為原點，CA、CB所在直線分別為x、y軸，過C與平面ABC垂直的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系C﹣xyz，

設A1D=a，則A（2，0，0），A1（1，0，a），B（0，2，0），C1（﹣1，0，a），

∴ ， ，

又由已知得 ，∴3﹣a2=0，得a= ，

∴ ， ，

設平面AA1B的法向量 ，

則 ，∴ ，令z= ，則x=y=3．

∴ ，

平面A1BC的法向量 ，

∴cos＜ ＞= ．

∴二面角A﹣A1B﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）由已知可得A1D⊥平面ABC，進一步得A1D⊥BC，再由BC⊥CC1 ， 得BC⊥AA1 ， 然后利用線面垂直的判定得答案；（2）利用線面垂直的性質可得BC⊥AC，以C為原點，CA、CB所在直線分別為x、y軸，過C與平面ABC垂直的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系C﹣xyz，設A1D=a，得A，A1 ， B，C1 的坐標，然后求出平面AA1B與平面A1BC的一個法向量，再求出兩個法向量所成角的余弦值，進一步得到二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想．