Question

已知函數.
（Ⅰ）若函數的值域為.求關于的不等式的解集；
（Ⅱ）當時，為常數，且，，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）由函數的值域為，則該二次函數與軸有一個交點，即，所以，所以，則，則，化簡得，解得，所以不等式的解集為.（Ⅱ）當時，，所以，而，，所以，接著利用導數求的最小值，令，則，當時，，單調增，當時，，單調減，最小值需要比較的大小，而，的最小值為.
試題解析：（Ⅰ）由值域為，當時有，即，
所以，則
則，化簡得，解得
所以不等式的解集為.
（Ⅱ）當時，，所以
因為，，所以
令，則
當時，，單調增，當時，，單調減，
因為
，所以
所以的最小值為.