Question

已知函數，.
(Ⅰ)求函數的單調遞增區間；
(Ⅱ)設，，，為函數的圖象上任意不同兩點，若過，兩點的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ)先求出函數的定義域為，再對函數求導得.對分， ，，四種情況進行討論，求得每種情況下使得的的取值范圍，求得的的取值集合即是函數的單調增區間；(Ⅱ)先根據兩點坐標求出斜率滿足的不等式，對、的取值進行分類討論，然后將問題“過， 兩點的直線的斜率恒大于”轉化為“函數在恒為增函數”，即在上，恒成立問題，即是在恒成立問題，然后根據不等式恒成立問題并結合二次函數的圖像與性質求解.
試題解析：(Ⅰ)依題意，的定義域為，
.
(ⅰ)若，
當時，，為增函數.
(ⅱ)若，
恒成立，故當時，為增函數.
(ⅲ)若，
當時，，為增函數；
當時，，為增函數.
(ⅳ)若，
當時，，為增函數；
當時，，為增函數.
綜上所述，
當時，函數的單調遞增區間是；當時，函數的單調遞增區間是，；當時，函數的單調遞增區間是；當時，函數的單調遞增區間是，.                            6分
（Ⅱ）依題意，若過兩點的直線的斜率恒大于，則有，
當時，，即；
當時，，即.
設函數，若對于兩個不相等的正數，恒成立，
則函數在恒為增函數，
即在上，恒成立，等價于在恒成立，則有
①時，即，所以
或②時，需且，即顯然不成立.
綜上所述，.                                        14分