Question

已知函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且當x₂＞x₁≥1時，總有[f（x₂）-f（x₁）]÷（x₂-x₁）＞0恒成立，則f（2^x）與f（3^x）的大小關系為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意可判斷f（x）在[1，+∞）上是增函數；再由冪函數的單調性可判斷2^x，3^x的大小關系，再由函數的對稱性化簡即可．

解答： 解：∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，
又∵[f（x₂）-f（x₁）]÷（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0；
故f（x）在[1，+∞）上是增函數；
若x=0，則2^x=3^x=1；f（2^x）=f（3^x）；
若x＞0，則1＜2^x＜3^x，
則 f（2^x）＜f（3^x）；
若x＜0，則0＜3^x＜2^x＜1；
則2-3^x＞2-2^x＞1；
故f（2-3^x）＞f（2-2^x）；
而f（1+x）=f（1-x），
故f（2-3^x）=f（3^x），f（2-2^x）=f（2^x）；
故f（2^x）＜f（3^x）；
綜上所述，f（2^x）≤f（3^x）；
故答案為：f（2^x）≤f（3^x）．

點評：本題考查了抽象函數的性質的判斷與應用，屬于中檔題．