Question

【題目】已知橢圓： 的上下兩個焦點分別為，過點與軸垂直的直線交橢圓于兩點， 的面積為，橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知為坐標原點，直線與軸交于點，與橢圓交于兩個不同的點，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的標準方程與幾何意義，可利用三角形面積與離心率建立關于的方程，解得；（2）將直線方程與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系，可得兩點坐標間關系式，據，可得斜率與間關系，利用方程組有解，得出關于的不等式，解之得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）根據已知橢圓的焦距為，當時，，

由題意的面積為，

由已知得，∴，∴，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）顯然，設，，由得，

由已知得，即，

且，，

由，得，即，∴，

∴，即．

當時，不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

綜上所述，的取值范圍為或.