Question

【題目】設Sn為數列{an}的前n項和，滿足Sn＝2an－2 (n∈N*)

（1）求的值，并由此猜想數列{an}的通項公式an；

（2）用數學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】分析：（1）由Sn＝2an－2 (n∈N*)，將n=1，2，3，4代入上式計算，猜想即可；

（2）對于an=（n∈N*），用數學歸納法證明即可．①當n=1時，證明結論成立，②假設當n=k（k≥1，k∈N*）時，結論成立，利用歸納假設，去證明當n=k+1時，結論也成立即可．

詳解：(1)當n＝1時，，

當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×a2－2，∴a2＝4.

當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×a3－2，∴a3＝8.

當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.

由此猜想： (n∈N*)．

(2)證明：①當n＝1時，a1＝2，猜想成立．

②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，猜想成立，即，

那么n＝k＋1時，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak

∴ak＋1=2ak，

這表明n＝k＋1時，猜想成立，

由①②知猜想 成立．