Question

已知函數f（x）=（x-x²）（x²+ax+b）（x∈R），若f（x-1）是偶函數，則f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x-1）是偶函數，可得：函數f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，則f（-2）=f（0），且f（-3）=f（1），進而求出a，b的值后，得到f（x）的解析式，利用導數法分析函數的單調性，進而可得f（x）的值域．

解答： 解：∵f（x-1）是偶函數，
∴函數f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，
則f（-2）=f（0），且f（-3）=f（1），
即-6（4-2a+b）=0且-9（9-3a+b）=0，
解得：a=5，b=6，
∴函數f（x）=（x-x²）（x²+5x+6）=-x⁴-4x³-x²+6x，
∴f′（x）=-4x³-12x²-2x+6=-2（x+1）（x+1-

10

2

）（x+1+

10

2

），
∵當x∈（-∞，-1-

10

2

）∪（-1，-1+

10

2

）時，f′（x）＜0，此時函數為減函數，
當x∈（-1-

10

2

，-1）∪（-1+

10

2

，+∞）時，f′（x）＞0，此時函數為增函數，
故當x=∈-1±

10

2

時，函數f（x）取最小值

9

4

，無最大值．
故f（x）的值域是[

9

4

，+∞），
故答案為：[

9

4

，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性的性質，函數的值域，導數法分析函數的單調性，導數法求函數的最值，難度較大．