Question

求函數f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：運用兩角和差的正弦和余弦公式，結合輔助角公式，化簡f（x），再由正弦函數的值域，即可得到最大值．

解答： 解：f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）
=

2

sinxcosα-

2

cosxsinα+cosxcosβ-sinxsinβ
=sinx（

2

cosα-sinβ）+cosx（cosβ-

2

sinα）
=

( 2 cosα-sinβ)2+(cosβ- 2 sinα)2

sin（x+θ）（θ為輔助角）
=

2+1-2 2 (sinαcosβ+cosαsinβ)

sin（x+θ）
=

3-2 2 sin(α+β)

sin（x+θ）．
則當sin（x+θ）=1，f（x）取得最大值，且為

3-2 2 sin(α+β)

．

點評：本題考查三角函數的化簡和求最值，考查兩角和的余弦公式和差的正弦公式，考查輔助角公式及正弦函數的值域，屬于中檔題．