Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，側棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線AE與A₁C所成角的余弦值；
（2）求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，則A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即為異面直線AE與A₁C所成的角θ，連結E₁C，解三角形可得異面直線AE與A₁C所成角θ的大小．
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁，得到∠A₁CH是直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角，在直角三角形中計算．

解答： 解：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取C₁B₁的中點H，連A₁H與HC，
∵E是BC的中點∴A₁H∥AE，∠CA₁H是異面直線AE與A₁C所成角，
∵底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴A₁H⊥BC，
∵側棱AA′⊥底面ABC，
∴側棱B₁B⊥A₁H，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，∴A₁H⊥HC，
在Rt△A₁HC中，
cos∠CA₁H=

A 1H

A1C

=

2 2

5

10

10

；              （6分）
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁
A₁C在平面BCC₁B₁上的射影是HC，
∴∠A₁CH是直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角，
在Rt△A₁HC中  tan∠A₁CH=

A1H

BC

=

2 2

3 2 2

=

1

3

．            （12分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角以及線面角的三角函數值的求法，關鍵是正確找出平面角，利用平面幾何的知識解答，屬于中檔題．