Question

在△OAB中，已知O（0，0），A（8，0），B（0，6），△OAB的內切圓的方程為（x-2）²+（x-2）²=4，點P是圓上一點．
（1）求點P到直線l：4x+3y+11=0的距離的最大值和最小值；
（2）若S=|PO|²+|PA|²+|PB|²，求S的最大值和最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓的圓心與半徑，利用圓心與直線的距離公式求出距離，即可求出點P到直線l：3x+4y+3=0距離的最值；
（2）設出P的坐標的參數形式，利用S=|PO|²+|PA|²+|PB|²，求出表達式，利用圓的參數方程即可求S的最大值與最小值．

解答： 解：（1）∵△OAB的內切圓的方程為（x-2）²+（x-2）²=4，
∴圓心M（2，2），r=2，
∴M到直線l的距離d=

|4×2+3×2+11|

32+42

=

25

5

=5，
∴P（x，y）到直線l的距離最大值為d+r=5+2=7，最小值為d-r=5-2=3．
（2）設P（x，y），則點P滿足

x=2+2cosθ y=2+2sinθ

，
則M=|PO|²+|PA|²+|PB|²=（2+2cosθ）²+（2+2sinθ）²+（2cosθ-6）²+（2+2sinθ）²+（2+2cosθ）²+（2sinθ-4）²]
=80-8cosθ，
∴當cosθ=1時，S取得最小值為S=80-8=72，
當cosθ=-1時，S取得最大值為S=80+8=88．

點評：本題主要考查點到直線的距離公式的應用，圓與直線的關系，圓的參數方程，三角函數的應用，考查計算能力．