Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直坐標系中，已知橢圓，經過點，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個交點。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設不經過原點的直線與橢圓相交與A，B兩點，第一象限內的點在橢圓上，直線平分線段，求：當的面積取得最大值時直線的方程。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓經過點，∴又，
∴，∴  
∴橢圓的方程為…………………………………………2分
又∵橢圓與直線 有且只有一個交點
∴方程即有相等實根
∴    ∴ 
∴橢圓的方程為………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為 故
設不經過原點的直線的方程交橢圓于
由得    ……………………………6分
∴  ………………7分       

直線方程為且平分線段 
∴=解得 ……………………………………………8分
∴
又∵點到直線的距離 
∴…………………………………………9分
設    
由直線與橢圓相交于A，B兩點可得
求導可得，此時取得最大值
此時直線的方程……………………………………………12分
點評：求橢圓的標準方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，常常運用韋達定理，本題屬于中檔題。