Question

已知圓O：和定點A(2,1)，由圓O外一點向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足

(1) 求實數a、b間滿足的等量關系；
(2) 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點，試求半徑取最小值時圓P的方程．

Answer 1

(1)；(2) 。

試題分析：（1）連為切點，，由勾股定理有
.
又由已知，故
即：.
化簡得：.  
（2）設圓 的半徑為，
 圓與圓O有公共點，且半徑最小，
，
故當時，
此時, ，.
得半徑取最小值時圓的方程為．
另解： 圓與圓O有公共點，圓半徑最小時為與圓O外切的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去，圓心為過原點與垂直的直線 與的交點.
 = －1 = －1.
又 ：x－2y = 0,
解方程組，得.即 ( ,).
∴ 所求圓方程為.   
點評：此題主要考查了圓的標準方程，兩點間的距離公式，以及二次函數的性質，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．