Question

【題目】如圖所示，取同離心率的兩個橢圓成軸對稱內外嵌套得一個標志，為美觀考慮，要求圖中標記的①、②、③）三個區域面積彼此相等.（已知：橢圓面積為圓周率與長半軸、短半軸長度之積，即橢圓面積為）

（1）求橢圓的離心率的值；

（2）已知外橢圓長軸長為6，用直角角尺兩條直角邊內邊緣與外橢圓相切，移動角尺繞外橢圓一周，得到由點M生成的軌跡將兩橢圓圍起來，整個標志完成.請你建立合適的坐標系，求出點M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）建立如圖平面直角坐標系,由對稱性只需，所以，化簡即得橢圓的離心率的值；（2）同（1）建立如圖平面直角坐標系，先求出外橢圓方程為，設點，根據直線和橢圓相切得到，即得點M的軌跡方程.

（1）建立如圖平面直角坐標系,

設外橢圓的方程為，因為內外橢圓有相同的離心率且共軸，

所以內橢圓的方程為.

圖中標記的①、②、③三個區域面積彼此相等，由對稱性只需，

即即

所以.

（2）同（1）建立如圖平面直角坐標系，由于外橢圓長軸為6，

所以，，所以，.

所以外橢圓方程為.

設點，切線方程為代入橢圓方程得：

[

直線和橢圓相切

化簡得

因為兩條切線互相垂直，所以，

即，

即

當兩切線與坐標軸垂直時，四點也滿足方程，

所以軌跡方程為.