Question

【題目】設數列的前項和為,且.

(1)求出,,的值,并求出及數列的通項公式;

(2)設,求數列的前項和;

(3)設,在數列中取出(且)項,按照原來的順序排列成一列,構成等比數列,若對任意的數列,均有,試求的最小值.

Answer 1

【答案】(1),,,.;(2)(3)2

【解析】

（1）利用及整理可知，通過計算出前三項的值，利用歸納推理猜想，進而利用數學歸納法證明即可；

（2）通過（1）裂項可知，進而分為奇數、偶數兩種情況討論即可；

（3）通過（1）可知，進而問題轉化為求首項為1、公比為的等比數列的前項和．

解:(1)∵,

∴,即,

又∵,即,

∴,,

…

猜想:.

下面用數學歸納法來證明:

①當時,命題成立;

②假設當時,有,

則,

即當時,命題也成立;

由①②可知.

∴,

又∵滿足上式,

∴數列的通項公式;

(2)由(1)可知,,

特別地,當為奇數時,為偶數,此時,

①若為偶數,則

;

②當為奇數且時,,

故,

又∵滿足上式,

∴當為奇數時,;

由①②可知: ;

(3)由(1)可知,

∴,

由題意可知需等比數列的首項及公比均達到最大,顯然首項為1公比為,

∴,

∵,

∴的最小值為2.