【題目】已知數(shù)列
、
滿足：
，
，
，
．
（1）求
，
，
，
；
（2）求證：數(shù)列
是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)
，若不等式
對任意
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【答案】（1）
，
，
，
（2）證明見解析，
（
）（3）
【解析】
（1）根據(jù)已知條件求得
與
的遞推關(guān)系式，由此先求出
，進(jìn)而依次求得
的值.
（2）由（1）中求得的與的遞推關(guān)系式，利用配湊法證得數(shù)列
是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列
的通項(xiàng)公式.
（3）由（2）求得數(shù)列
的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得
.
解法一：利用分離常數(shù)法化簡不等式
，得到
，利用數(shù)列的單調(diào)性證得
，由此求得
的取值范圍.
解法二：通過差比較法，化簡
，對分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.
（1）由于
，所以
，
因?yàn)?/span>
，所以，，，，．
（2）
，
，
所以，
，
所以，數(shù)列是以
為首項(xiàng)，
為公差的等差數(shù)列．
所以，
，（）．
（3）因?yàn)?/span>，從而
，
所以，
，
解法一：
所以，不等式化為
，
即當(dāng)時恒成立，
令
，
則
隨著
的增大而減小，且
恒成立．
故
，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
解法二：
，
若不等式對任意恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)
對任意恒成立．
設(shè)
，由題意，
，
當(dāng)
時，
恒成立；
當(dāng)
時，函數(shù)
圖像的對稱軸為
，
在
上單調(diào)遞減，即在
上單調(diào)遞減，故只需
即可，
由
，得
，所以當(dāng)時，對恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
.
（1）當(dāng)
時，解不等式
；
（2）若關(guān)于
的方程
的解集中恰好有一個元素，求實(shí)數(shù)
的值；
（3）設(shè)
，若對任意
，函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值與最小值的差不超過
，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，取同離心率的兩個橢圓成軸對稱內(nèi)外嵌套得一個標(biāo)志，為美觀考慮，要求圖中標(biāo)記的①、②、③）三個區(qū)域面積彼此相等.（已知：橢圓面積為圓周率與長半軸、短半軸長度之積，即橢圓
面積為
）
（1）求橢圓的離心率的值；
（2）已知外橢圓長軸長為6，用直角角尺兩條直角邊內(nèi)邊緣與外橢圓相切，移動角尺繞外橢圓一周，得到由點(diǎn)M生成的軌跡將兩橢圓圍起來，整個標(biāo)志完成.請你建立合適的坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，斜三棱柱
中，平面
平面
，
為棱
的中點(diǎn)，
與
點(diǎn)
．若
，
60°．
（Ⅰ）證明：直線
平面
；
（Ⅱ）證明：平面
平面
；
（Ⅲ）求直線與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的中心為
，一個方向向量為
的直線
與只有一個公共點(diǎn)
（1）若
且點(diǎn)在第二象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若經(jīng)過的直線
與垂直，求證：點(diǎn)到直線的距離
；
（3）若點(diǎn)
、
在橢圓上，記直線
的斜率為
，且
為直線
的一個法向量，且
求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列
，
滿足：對任意正整數(shù)
，都有
，
，
成等差數(shù)列，，，
成等比數(shù)列，且
，
．
（Ⅰ）求證：數(shù)列
是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)
=
+
+…+
，如果對任意的正整數(shù)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的周期為
，圖象的一個對稱中心為
.將函數(shù)
圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移
個單位長度后得到函數(shù)
的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式.
(2)定義:當(dāng)函數(shù)取得最值時,函數(shù)圖象上對應(yīng)的點(diǎn)稱為函數(shù)的最值點(diǎn),如果函數(shù)
的圖象上至少有一個最大值點(diǎn)和一個最小值點(diǎn)在圓
的內(nèi)部或圓周上，求k的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將函數(shù)
的圖象向右平移
個單位長度后得到函數(shù)
的圖象,
分別是
的極值點(diǎn),且有
,則函數(shù) ( )
A.在區(qū)間
上單調(diào)遞增B.在區(qū)間
上單調(diào)遞增
C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞減
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經(jīng)過點(diǎn)
離心率
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)
的直線(不經(jīng)過點(diǎn)
且不與
軸重合)與橢圓交于
兩點(diǎn)，與直線
:
交于點(diǎn)
，記直線
的斜率分別為
.則是否存在常數(shù)
，使得向量
共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.
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