Question

（2008•上海模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1    (a＞b＞0)
（1）已知橢圓的長軸是焦距的2倍，右焦點坐標為F（1，0），寫出橢圓C的方程；
（2）設K是（1）中所的橢圓上的動點，點O是坐標原點，求線段KO的中點B的軌跡方程；
（3）設點P是（1）中橢圓C 上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，K_PN試探究k_PM•K_PN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）2a=2（2c），c=1，a²=4b²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設KO的中點為B（x，y），則點K（2x，2y），把K的坐標代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

=1．由此能求出線段KF₁的中點B的軌跡方程．
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，設M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）．M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，由此能夠證明k_PM•K_PN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關．

解答：解：（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a²=4b²=3，（3分）
橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（2）設KO的中點為B（x，y）則點K（2x，2y），（6分）
把K的坐標代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，
得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

=1（8分）
線段KF₁的中點B的軌跡方程為x2+

y2

3 4

=1．（10分）
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱
設M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）（11分）
M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，
得

x02

4

+

y02

3

=1    ，

x2

4

+

y2

3

=1，（12分）
kPM=

y-y0

x-x0

      KPN=

y+y0

x+x0

，（13分）
k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

 •

y+y0

x+x0

 =

y2-y02

x2-x02

=-

3

4

．（15分）
故：k_PM•K_PN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關．（16分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．